home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Loadstar 13 / 013.d81 / partial fract < prev    next >
Text File  |  2022-08-26  |  2KB  |  137 lines
  1.  
  2.          PARTIAL FRACTIONS
  3.  
  4.  
  5.   There is a theorem in algebra which
  6.  
  7. states that a rational expression,
  8.  
  9. that is, the quotient of two polyno-
  10.  
  11. mials can be expressed as the sum of
  12.  
  13. simpler rational expressions depending
  14.  
  15. on the factorization of the
  16.  
  17. denominator of the expression.
  18.  
  19.  In Algebra 1 we learn how to add two
  20.  
  21. rational expressions.  For instance,
  22.  
  23.  
  24.                           2
  25.    2       2X + 2       4X  + 2X
  26.  ----- + ---------- =  ----------
  27.            2               3
  28.   X-1     X + X + 1       X - 1
  29.  
  30.  
  31.  
  32. is an easy addition after finding the
  33.  
  34. common denominator.  What doesn't seem
  35.  
  36. so easy is the reverse process.  That
  37.  
  38. is, starting with a sum can we break
  39.  
  40. it into 'smaller' summands?  In other
  41.  
  42. words if we start with the expression
  43.  
  44.                 2
  45.               4X +2X
  46.               ------
  47.                 3
  48.                X -1
  49.  
  50.  
  51.  
  52. is there a systematic way to find the
  53.  
  54. two summands given above?
  55.  
  56.   The answer is yes.  The theorem
  57.  
  58. deals with what are known as partial
  59.  
  60. fractions. I won't state the theorem
  61.  
  62. here, as it requires some explanation
  63.  
  64. in its most general form.  You'll find
  65.  
  66. a good version of it in Birkoff and
  67.  
  68. MacLane's A SURVEY OF MODERN ALGEBRA,
  69.  
  70. or nearly any other book on abstract
  71.  
  72. algebra. For that matter, since
  73.  
  74. partial fraction decomposition is used
  75.  
  76. in integration techniques, you'll find
  77.  
  78. it described in every calculus text.
  79.  
  80.   As an application of our polynomial
  81.  
  82. division program, find simpler
  83.  
  84. summands which add to
  85.  
  86.  
  87.              3
  88.            3X - 7
  89.           -------
  90.             2     2
  91.           (X -X+1)
  92.  
  93.  
  94.                   3
  95.   First express 3X -7 as a polynomial
  96.  
  97.               2
  98. in powers of X -X+1.  This can be done
  99.  
  100. by the successive divisions method
  101.  
  102. used in the TAYLOR's THEOREM article
  103.  
  104. in this issue.  In this particular
  105.  
  106. case, there is only one division
  107.  
  108. necessary.
  109.  
  110.  
  111.        3             2
  112.      3X -7 = (3X+3)(X -X+1) - 10
  113.  
  114.                               2     2
  115.    Now divide both sides by (X -X+1)
  116.  
  117.       3
  118.      3X -7      3X+3        10
  119.   --------  = --------  - -------
  120.     2     2     2           2     2
  121.   (X -X+1)     X -X+1     (X -X+1)
  122.  
  123.  
  124.  
  125.   That's it.
  126.  
  127.  
  128.  
  129. Press "\" to run the LOADSTAR POLYDIV
  130. \oad "loadstar polydiv",8
  131. program now.
  132.  
  133.  
  134.                   Al Vekovius
  135.  
  136. --------------------------------------
  137.